算法思想：分治算法

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基本概念

在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……

任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。

基本思想及策略

分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。

适用情况

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

  • 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决

  • 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。

  • 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；

  • 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；

第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、

第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。

第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

复杂性分析

递归

本质上是将原来的问题转换为更小的同一问题。

设计递归问题：

  • 考虑递归的抽象语义。
  • 递归函数就是一个函数，完成一个功能。
    • 即以sum()为例，就是说我只我自己+左子树的和+右子树的和即为整个树的和。从抽象的角度讲，这就是正确的计算方式。
    • 至于如何去计算左子树的值，再去想起来递归这个概念。

基本步骤

所有递归算法都可以分为两部分：

  • 定义递归的抽象语义，将原问题转化为更小的问题。
    • 以二叉树和为例：即对于root而言，root的值+左右子树的值为二叉树的和。
  • 求解最基本的问题，这个最基本的问题是不能自动求解的，而是需要我们编写逻辑的。
    • 即考虑最底层的问题，即一个叶子节点只要返回它本身的值即可。
    • 考虑边界条件，以及到达底层的条件判断。
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//对树求和
public static int sum(Node root){
	if(root == null){
        return 0;
    }
    return root.val + sum(root.left) + sum(root.right);
}

分治法在每一层递归上都有三个步骤：

  1. 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
  2. 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
  3. 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

应用

依据分治法设计程序时的思维过程

实际上就是类似于数学归纳法，找到解决本问题的求解方程公式，然后根据方程公式设计递归程序。

  1. 一定是先找到最小问题规模时的求解方法

  2. 然后考虑随着问题规模增大时的求解方法

  3. 找到求解的递归函数式后（各种规模或因子），设计递归程序即可。

可求解的经典问题

  1. 二分搜索
  2. 大整数乘法
  3. Strassen矩阵乘法
  4. 棋盘覆盖
  5. 合并排序
  6. 快速排序
  7. 线性时间选择
  8. 最接近点对问题
  9. 循环赛日程表
  10. 汉诺塔

实例

递归问题

获得数组最大值

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public static int getMax(int[] arr, int L, int R){
    if(L == R){
        return arr[L];
    }
    int mid = (L + R)/2;
    int maxLeft = getMax(arr, L, mid);
    int maxRight = getMax(arr, mid+1, R);
    return Math.max(maxLeft, maxRight);
}

public static void main(String[] args){
    int[] arr = {4,3,2,1};
    sout(getMax(arr, 0, arr.length-1));
}

参考

  1. 五大常用算法之一：分治算法